2010年05月20日 08:40
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定義設(shè) ， ， 是k個常數(shù)，且 ，則遞推關(guān)系

                  （n k）   （1）         

稱為k階常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系。

如果數(shù)列 滿足

          （n k）

則稱數(shù)列 或 是遞推關(guān)系的一個解

定理1 任意給出個常數(shù) ，有且僅有一個數(shù)列 ，它是遞推

關(guān)系（1）的解，且滿足條件： （該條件稱為遞推關(guān)

系（1）的初始條件）

因為有無窮多種方法去取k個常數(shù) ，故由定理1，遞推關(guān)系（1）有無窮多個解。但給出了初始條件之后，遞推關(guān)系（1）的解是唯一的。

能表示出遞推關(guān)系（1）全部解的表達式叫做遞推關(guān)系（1）的通解。

遞推關(guān)系（1）可改寫成

定義2 方程

                 （2）

稱為遞推關(guān)系（1）的特征方程，它的根稱為遞推關(guān)系（1）的特征根

定理2 設(shè)q是非零復(fù)數(shù)，則 是遞推關(guān)系（1）的一個解當(dāng)且僅當(dāng)q

是遞推關(guān)系（1）的一個特征根.

定理3 設(shè)   都是遞推關(guān)系（1）的解，

為任意常數(shù)，則 也是遞推關(guān)系（1）的解

定理4 如果遞推關(guān)系（1）的k個特征根 彼此相異，則

是遞推關(guān)系（1）的通解，其中 為任意常數(shù)。

例1 已知 且

     求數(shù)列 的通項公式

解：遞推關(guān)系

的特征方程為 ，特征根為

，所以

，

其中 為待定常數(shù)，由初始條件有

解這個方程組得 ，所以

以上是對于特征根彼此相異求遞推關(guān)系的解的情況，，下面來研究一下對于特征根為重根求遞推關(guān)系解的情況

定理5 設(shè)q是遞推關(guān)系（1）的一個m(m 0)重特征根，則 都是（1）的解

定理 6 設(shè)遞推關(guān)系（1）有t個相異的特征根 其中 是 重根，令

          ，

其中 是任意常數(shù)，則遞推關(guān)系（1）的通解為

由以上定理可以知道，解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系的步驟是：求出特征根，寫出通解，由初始條件確定通解中的諸常數(shù)，最后寫出所求的解。

例2 解遞推關(guān)系

解：所給遞推關(guān)系的特征方程為

特征根為 所以

其中 為待定常數(shù)，由初始條件有

解這個方程組得 ，所以

對于文中我們在例1以及例2中所建立起來的遞推關(guān)系,我們都可以用上述的特征根法進行求解

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