Ⅱ、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想處理一類對(duì)稱問題
2010年10月04日 09:36
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高一數(shù)學(xué)組
圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱求某參數(shù)范圍問題，已經(jīng)有許多文章進(jìn)行了論述。通常都是用函數(shù)思想、不等式的思想解決的。即引進(jìn)新參量，建立函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域或構(gòu)造關(guān)于參量的不等式，尋求參量的范圍。通過教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)這類問題不僅可以用上述兩種思想解決，也可以用數(shù)形結(jié)合思想解決。設(shè)想尋求有關(guān)弦中點(diǎn)軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍，下面舉幾例加以說明。
例1：已知橢圓C： ，確定m的取值范圍，使C上有不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線L：y=4x+m對(duì)稱。
解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)M(x0,y0)
則有 (1) (2)
(1)-(2)得
A、B關(guān)于L對(duì)稱
KAB =
y0 = 6x0
于是以 為斜率的平行弦中點(diǎn)軌跡是直線y=6x在橢圓內(nèi)部的一段，不包括端點(diǎn)。
與 聯(lián)立得兩交點(diǎn)A1( ),B1( )，
問題轉(zhuǎn)化為L與線段 有交點(diǎn)問題。
由圖形知，當(dāng)L過A1點(diǎn)時(shí)，m最大值為 ，當(dāng)L過B1點(diǎn)時(shí)，m最小值為 - ，
例1的解法提供了一種解決此類問題的新思路，而且運(yùn)算過程簡單，從圖形上可以直觀地看出結(jié)果，真正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的作用。那么此種想法是否適合其它曲線呢？回答是肯定的。
例2：曲線C：x-y2-2y=0上存在關(guān)于直線L:y=x+m對(duì)稱兩點(diǎn)A、B，求m的取值范圍。
解：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB中點(diǎn)M(x0,y0)，則有
- -2 =0 ①
- -2 =0 ②
①-②得 (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0
由題意知 x1-x20，上式兩端同除x1-x2，得
A，B關(guān)于L對(duì)稱
KAB = ，y0 = ,x0 = - m
于是以-1為斜率的平行弦中點(diǎn)軌跡為直線y = 在拋物線內(nèi)部的一條射線，不包括端點(diǎn)。
將y = 代入拋物線方程得交點(diǎn)P( , )，
問題轉(zhuǎn)化為L與射線y = (x> )有交點(diǎn)。
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入L方程得m = ，由圖形知，m取值范圍為
由例1、例2可以看出，若直線L斜率已知，則可以轉(zhuǎn)化為L與平行弦中點(diǎn)軌跡相交問題處理，關(guān)鍵是尋求與已知直線垂直的平行弦中點(diǎn)軌跡，然后再利用數(shù)形結(jié)合求參量范圍。那么，這種解法可信度如何呢？我們看看上兩例，例1中當(dāng)L與A1B1有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)恰是與L垂直的弦中點(diǎn)，就保證了該弦兩端點(diǎn)關(guān)于L對(duì)稱。所以只要L與平行弦中點(diǎn)軌跡有交點(diǎn)時(shí)，就能保證曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于L對(duì)稱。
例3、已知橢圓C： ，確定k的范圍，使C上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線L： 對(duì)稱。
解：設(shè) ， ， ，
當(dāng)k=0時(shí)， 不符題意，所以 ，
將A、B坐標(biāo)代入橢圓方程得
(1) (2)
(1)-(2)得 即
， 有
， 又M在L上，
， ，
于是以 為斜率的弦中點(diǎn)軌跡為 在橢圓內(nèi)部的一段A1B1，如圖，
將 代入橢圓方程得 ，
問題轉(zhuǎn)化為L與線段A1B1有交點(diǎn)，由圖形知
例4、已知L： 能垂直平分曲線C： 某一弦AB，求k范圍。
解：由拋物線對(duì)稱性，當(dāng)k=0時(shí)，C上不存在A、B關(guān)于L對(duì)稱，所以 ，
設(shè) ， ， ，
將A、B坐標(biāo)代入拋物線方程得
(1) (2)
(1)-(2)得
，
， ， ，
又 在L上，
，
于是 ， ，消k得
斜率為 的弦中點(diǎn)軌跡為 在拋物線內(nèi)部一段且過(1,1)點(diǎn)，如圖，
而L過定點(diǎn)(1,1)。當(dāng)L與 相切時(shí)得k=-2，由圖形知
例5、曲線C： 上存在關(guān)于L： 對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B，求k的范圍。
解：當(dāng)k=0時(shí)，L為x軸，由雙曲線對(duì)稱性知 k=0不符合題意，
當(dāng) 時(shí)，設(shè) ， ， ，
將A、B坐標(biāo)代入雙曲線方程得
(1) (2)
(1)-(2)得 ，
， ，
又 ， ，
以 為斜率的弦中點(diǎn)軌跡方程為x=-2，
直線x=-2與雙曲線、漸近線交于點(diǎn)A1，B1，C1，D1，
由雙曲線對(duì)稱性可以看出，以 為斜率的弦中點(diǎn)軌跡應(yīng)是線段B1C1和以A1，D1為端點(diǎn)的兩條射線（在x=-2上），
L過定點(diǎn)C(-4 ，0)
由圖形知， 時(shí)，L與弦中點(diǎn)軌跡有交點(diǎn)，即C上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于L對(duì)稱。
所以
通過以上幾例可以看出，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決這類問題，可以使運(yùn)算過程簡化，并具有很強(qiáng)的直觀性，處理此類問題思路簡單。最后筆者想說的是，數(shù)學(xué)思想無處不在，只要我們注重挖掘，并能將其運(yùn)用于解題實(shí)踐，這樣將會(huì)給我們帶來無窮的樂趣。
